De planos, campos y otras yerbas...

Acá una historia de las miserias y verdades en la ciudad de la furia...

En el edificio donde viven las funciones ordinarias (también conocidas como funciones reales de variable real o, simplemente, funciones escalares) las pibas del 4° F tienen una propiedad que sus vecinas envidian sobremanera. Y es que son derivables.
Las solteronas y monótonas del 8° A les tienen tanto rencor que cuando se las cruzan en el pallier, susurran socarronamente: "ja, por lo menos a mí no me aproxima ninguna recta chiruza".
Y es que "las pibas", al ser derivables, tienen la cualidad de que existen infinitas líneas rectas que pasan por cada uno de sus puntos. En particular, algunas de ellas las tocan en el punto. Es decir, les son tangentes en ese punto.
¿Y que cualidad tienen esas rectas tangentes? Que su pendiente esta dada por la derivada de la función y, además, que representan la mejor aproximación a la función en un entorno de ese punto. Es decir, muy cerca de ese punto la función y la recta tienen el mismo valor. “Chupate esa” diría Jorge Corona.
Esta propiedad se llama diferenciabilidad de la función y asegura que la función que es diferenciable es pausible de ser aproximada por una línea recta que le es tangente y cuya pendiente esta dada por la derivada de la función. Y esto es muy fuerte como para no despertar la envidia de las monótonas del octavo.
Formalmente:
(Condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad)
Sea F una función escalar: R en R
Hip - F es derivable en un entorno (a,b) de su dominio
T - F es diferenciable en (a,b)
Y viceversa. Es una bicondicional.

En el edificio de al lado la cosa es aún más elitista porque viven las funciones reales de variable vectorial o, simplemente, campos escalares. Y los señoritos siempre bien vestidos y perfumados del 2° B son motivo de constante chusmerío, hasta incluso de los campos escalares derivables. ¿Porque? Por que estos muchachos son diferenciables y, por lo tanto, aproximables. Pero esta vez no por una recta sino por un plano, llamado plano tangente, atento a que los campos escalares estan deifinidos, como mínimo, en tercera dimensión.
Más general. Si un campo escalar es derivable no necesariamente ha de ser diferenciable. En el caso que sí lo sea, seguro su mejor aproximación en un punto es un plano tangente al campo, en ese punto. De otro modo, de todos los planos que pasan por ese punto, el que más se asemeja al valor del campo en un entorno del punto, es el que resulta ser tangente en ese punto.
¿Qué condición debe cumplir un campo escalar para ser diferenciable? Que sus derivadas parciales sean contínuas.
Y llendo un poco más lejos. El gradiente del campo evaluado en un punto es ortogonal al plano tangente en ese punto.
Y un poco más. El gradiente en un punto es ortogonal, también, al plano tangente en el punto a la superficie de nivel c del campo.
Formalmente:
(Condición suficiente de diferenciabilidad)
Sea F un campo escalar: Rn en R
Hip - F admite derivadas parciales contínuas en un entorno (a,b,….,n) de su dominio
T - F es diferenciable en (a,b,….,n)

Muchas cualidades como para no ser envidiadas, digamos la verdad.