un tal thales

Sobre la Regla de Barrow

2009-12-10T16:41:00.005-02:00

“¿Cómo hago?” se preguntaban los matemáticos anteriores al siglo XVII cuando se enfrentaban a la odisíaca tarea de hallar el área comprendida entre una curva cualquiera (con la cualidad de ser integrable, obviamente) y el eje de absisas de un sistema cartesiano.
Probaban y probaban, algunos con mucho ingenio. Pero todas las estrategias de ataque al problema terminaban arrojando errores de cálculo, tanto por defecto como por exceso.
Pero un día llegó el doctor, manejando un cuatrimotor, ¿y saben lo que pasó? Junto al doctor venía el reverendo Isaac Barrow, quien en su facebook declaraba: nacido en Londres en 1630, de profesión teólogo y matemático, y viviendo una situación sentimental con alguien (sin aclarar el sexo de alguien).
Maestro de su tocayo Isaac Newton, Don Barrow se había interesado por el cálculo y la geometría. Entre sus numerosos aportes al cálculo (se lo considera uno de los padres del cálculo moderno) se encuentran el Primer y Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral; este último conocido, con justicia, como Regla de Barrow.
El Primer Teorema Fundamental aliviaría sobremanera la ingesta diaria de cafiaspirinas de los matemáticos buscadores de áreas. ¿Porqué? se preguntarán. Por que el Teorema en cuestión establece una relación bidireccional, crucial en matemáticas, que dice así: la diferenciación y la integración de una función son operaciones inversas una de la otra. Vale decir que, si se desea conocer la integral de una función “f” escalar (trabajando en R1 es más fácil el concepto), basta con hallar una función “F” (que también será escalar), tal que su derivada sea igual a “f”.
“¿Y para qué me sirve eso a mí, fiera?” Se preguntaban los impacientes matemáticos.
Les servía porque Don Isaac, unos meses más tarde, sentenció el Segundo Teorema Fundamental: el área bajo la curva que genera la imagen de una función escalar integrable, comprendida entre los valores “a” y “b” (con “a” menor que “b” y ambos reales), es igual a la integral de f evaluada en “b”, menos la integral de f evaluada en “a”; y esto gracias al Primer Teorema Fundamental se traduce de la siguiente manera: la primitiva de f evaluada en “b”, menos la primitiva de f evaluada en “a”.
Cuenta la leyenda que tiempo más tarde, a raíz estos descubrimientos, Don Isaac se hizo tan famoso que participó en Bailando por un sueño e hizo una temporada de verano en Villa Carlos Paz. Demasiado para un espíritu ermitaño.
En el siglo XIX, el alemán Bernardito Riemann generalizó todos estos conceptos para funciones en espacios vectoriales Rn, de dimensión “n” mayor o igual a 3, permitiendo con ello, en el caso de n = 3, calcular el área comprendida entre un sólido, un par de vectores en R3 (como límites de integración) y un octante, en un sistema tridimensional.
Esta generalización de Riemann es conocida como integral múltiple o Suma de Riemann (en alusión a la estrategia con la que trabajó Bernardo).

Y posteriormente se generalizó aún más el concepto para el caso de áreas comprendidas entre n sólidos o entre n sólidos y algún(os) octantes, con límite de integración dependiente de alguna(s) variable(s).

Sobre la Regla de Bernoulli

2009-11-04T12:38:00.003-02:00

“Yo le daré con placer a usted una pensión de 300 libras,
la cual comienza desde el 01 de Enero del presente año. Y le
mandaré 200 libras para la primera parte del año, por las revistas
que Ud. ha mandado. Y le daré otras 150 libras por la
otra parte del año y así en el futuro. Le prometo incrementar
estas pensiones pronto, pues reconozco que son moderadas, y
lo haré tan pronto como mis negocios sean menos confusos.
Yo no soy tan irrazonable como para pretender de usted todo
su tiempo, pero sí pretendo que de él me de ocasionalmente
algunas horas para trabajar en lo que le pregunte, y también,
para que me comunique sus descubrimientos, con la condición
de no nombrarlos a otros. También le digo que no envíe
ni a Varignon ni a otros copias de estas notas, pues no me
agradará. Envíeme su respuesta a todo esto y créame:

Monsieur tout a vous

LE M. DE L'HOSPITAL"

Con estas palabras (fechadas el 17 de Marzo de 1694) Guillermo de L´Hospital compró los trabajos y el silencio de Juan Bernoulli.
Guillermo Francisco Antonio de L´Hospital: Marqués de Saint Mesme, Conde de Autremont y Señor de Ouques, nació en París en 1661 y falleció en la misma ciudad, en 1704. Fue un matemático aficionado que publicó diversos trabajos sobre Cálculo, pero sus aspiraciones lo llevaron a la deshonra.
Juan Bernoulli nació en Basilea en 1667 y falleció en París en 1747. Décimo hijo de un farmacéutico acaudalado, desistió del influjo paterno para dedicarse a la administración de la empresa y se dedicó a la matemática realizando numerosos trabajos, muchos de los cuales han sido de vital importancia para el progreso de esta ciencia. Joven, recien casado y agobiado por su situación económica se vió obligado a aceptar la indecorosa propuesta de L´Hospital.
En 1696 se publicó la obra de este último: “Análisis de puntos infinitesimales para la comprensión de líneas curvas”. La misma estaba dividida en diez secciones. En la novena de ellas aparece la regla la falsamente conocida como Regla de L´Hospital:

“Para hallar el valor de una expresión racional en x que para un valor de abcisa dada, x toma la forma 0/0, se determina el cociente de las diferencias del numerador y del denominador para este valor de la abcisa” (luego este resultado se generalizó para los casos de ∞/∞).

En 1704, ante la muerte de L´Hospital y considerandose entonces libre para hacerlo, Bernoulli realizó una serie de declaraciones públicas de sus resultados, en particular de la regla en cuestión haciendo masiva la verdadera identidad de su creador: él mismo. Pero pocos le creyeron y este importante teorema continuó atribuyendose injustamente al marqués.
El tiempo fue el peor enemigo de Bernoulli porque fue recién en el año 1922 cuando la verdad salió a la luz, al aparecer un manuscrito suyo sobre Cálculo Diferencial fechado en 1691 en el que figura la regla. El de L´Hospital data de 1696, 5 años más tarde.
Hoy en día se la sigue llamando regla de L´Hospital.
Cuanta injusticia.

De planos, campos y otras yerbas...

2009-10-23T11:37:00.001-02:00

Acá una historia de las miserias y verdades en la ciudad de la furia...

En el edificio donde viven las funciones ordinarias (también conocidas como funciones reales de variable real o, simplemente, funciones escalares) las pibas del 4° F tienen una propiedad que sus vecinas envidian sobremanera. Y es que son derivables.
Las solteronas y monótonas del 8° A les tienen tanto rencor que cuando se las cruzan en el pallier, susurran socarronamente: "ja, por lo menos a mí no me aproxima ninguna recta chiruza".
Y es que "las pibas", al ser derivables, tienen la cualidad de que existen infinitas líneas rectas que pasan por cada uno de sus puntos. En particular, algunas de ellas las tocan en el punto. Es decir, les son tangentes en ese punto.
¿Y que cualidad tienen esas rectas tangentes? Que su pendiente esta dada por la derivada de la función y, además, que representan la mejor aproximación a la función en un entorno de ese punto. Es decir, muy cerca de ese punto la función y la recta tienen el mismo valor. “Chupate esa” diría Jorge Corona.
Esta propiedad se llama diferenciabilidad de la función y asegura que la función que es diferenciable es pausible de ser aproximada por una línea recta que le es tangente y cuya pendiente esta dada por la derivada de la función. Y esto es muy fuerte como para no despertar la envidia de las monótonas del octavo.
Formalmente:
(Condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad)
Sea F una función escalar: R en R
Hip - F es derivable en un entorno (a,b) de su dominio
T - F es diferenciable en (a,b)
Y viceversa. Es una bicondicional.

En el edificio de al lado la cosa es aún más elitista porque viven las funciones reales de variable vectorial o, simplemente, campos escalares. Y los señoritos siempre bien vestidos y perfumados del 2° B son motivo de constante chusmerío, hasta incluso de los campos escalares derivables. ¿Porque? Por que estos muchachos son diferenciables y, por lo tanto, aproximables. Pero esta vez no por una recta sino por un plano, llamado plano tangente, atento a que los campos escalares estan deifinidos, como mínimo, en tercera dimensión.
Más general. Si un campo escalar es derivable no necesariamente ha de ser diferenciable. En el caso que sí lo sea, seguro su mejor aproximación en un punto es un plano tangente al campo, en ese punto. De otro modo, de todos los planos que pasan por ese punto, el que más se asemeja al valor del campo en un entorno del punto, es el que resulta ser tangente en ese punto.
¿Qué condición debe cumplir un campo escalar para ser diferenciable? Que sus derivadas parciales sean contínuas.
Y llendo un poco más lejos. El gradiente del campo evaluado en un punto es ortogonal al plano tangente en ese punto.
Y un poco más. El gradiente en un punto es ortogonal, también, al plano tangente en el punto a la superficie de nivel c del campo.
Formalmente:
(Condición suficiente de diferenciabilidad)
Sea F un campo escalar: Rn en R
Hip - F admite derivadas parciales contínuas en un entorno (a,b,….,n) de su dominio
T - F es diferenciable en (a,b,….,n)

Muchas cualidades como para no ser envidiadas, digamos la verdad.

Oia...una recta horizontal

2009-09-30T14:55:00.001-03:00

Teniendo presente que el hombre era abogado, no podemos más que sacarnos el sombrero cuando nos enteramos que fue él quien creó el concepto de "derivada".
Nada más viendo el gráfico de una función periódica Pierre de Fermat notó que en los máximos y mínimos de esa función se podían trazar líneas tangentes a la curva cuya cualidad consistía en ser horizontales.
Y así nomás, como quien no quiere la cosa, el hombre se mandó un estudio sobre la diferenciación de las funciones y creó el concepto de derivada.
Y este fue sólo uno de los tantos aportes de este abogado a la matemática...
Chapeau Fermat...

Es así...

2008-10-07T12:03:00.003-02:00

Estan ahí. Las demostraciones a los teoremas (de aquellos que las tienen) estan flotando en el eter, ocultas. Los encadenados lógicos y los artilugios estan presentes pero son invisibles.

El proceso de demostración consiste en ir quitando la nieve que los tapa para dejarlos a la vista de todos.

Orígen de la probabilidad

2008-09-30T10:03:00.001-03:00

Era la primera mitad del siglo XVII.
El era un abogado frances que se desempeñaba como juez en la ciudad de Toulouse.
En sus ratos libres dezplegaba su facinación y su lúcidez garabateando teoremas que luego enviaba a los matemáticos de su época (Pascal, Mersenne, Descartes, etc) en forma de desafio para que encontraran las demostraciones.
Aunque no lo crean, ésta vez no hablamos de Carlitos Gauss.
.........................................................................

Su intercambio de cartas con Blas Pascal fue la única vez que Pierre de Fermat discutió sus ideas con alguien distinto a Mersenne. Lo hizo porque le interesaba sobremanera la invitación que le había hecho Pascal para pensar juntos un tema que éste tenía en sus manos y que era totalmente novedoso en lo que a conocimiento matemático se refería. Hay que decir la verdad: Fermat era un ermitaño, pero no todos los días pasa que alguien lo invita a uno a crear la Teoría de la Probabilidad....así que el gran Pedro accedió.

El problema que Pascal tenía en sus manos lo había recibido de un apostador profesional parisino llamado Antoine Gombaud, que le había acercado un problema surgido de un juego de azar llamado puntos. Gombaud estaba jugando una partida de puntos con otro apostador cuando tuvieron que abandonar el juego por un causa urgente. Surgió entonces el problema de qué hacer con el dinero del premio. La solución sencilla hubiera sido darle todo el dinero al jugador con más puntos, pero Gombaud le preguntó a Pascal si había una manera más justa de dividir el dinero. Le pidió que calculara la probabilidad de que cada uno de los jugadores ganara en caso de que el juego hubiera continuado. El dinero del premio podría dividirse entonces de acuerdo con el cálculo de esas probabilidades.
Antes del siglo XVII las leyes de la probabilidad estaban regidas por la intuición y la experiencia de los apostadores, pero Pascal inició correspondencia con Fermat para descubrir las ecuaciones matemáticas que las describen.
Fermat analizó la pregunta de Gombaud y pronto se dio cuenta de que se trataba de un problema trivial que se podía resolver definiendo rigurosamente todos los posibles resultados del juego y asignándole una probabilidad individual a cada uno.

Contento el buen Antoine con el modelo probabilístico de Pascal-Fermat (en esa época todavía no existían las guerras de cartel, de modo que los muchachos no fueron a lo de Rial a pelearse por ver cual de los apellidos iba primero), se dirigió al otro jugador de puntos y le dijo:
- macho, aca los muchachos me dicen que si seguimos jugando te re gano, asi que hagamosla facil y yo me llevo la guita....

Orígen del igual...

2008-09-05T09:19:00.003-03:00

" Pondré, como hago a menudo en el curso de mi trabajo, un par de paralelas o líneas gemelas de la misma longitud, así: =, porque no hay dos cosas que puedan ser más iguales."

Robert Recorde

(creador del símbolo =)

Albertito...

2008-09-05T09:14:00.001-03:00

"Hazlo simple, tanto como sea posible, pero no más"

Albert Einstein

Este margen es muy pequeño II

2008-09-03T14:40:00.004-03:00

" Hay una inevitable tristeza en el hecho de haber resuelto el último teorema (de Fermat). Los que se dedican a la teoría de números, en lo más profundo, lo sienten así. Para muchos de nosotros fue la resolución de este problema lo que nos atrajo a las matemáticas, y siempre lo consideramos como un sueño, pero nunca como algo que conseguiríamos. Hoy sentimos que hemos perdido algo."

Andrew Wiles

Este margen es muy pequeño...

2008-09-02T15:16:00.006-03:00

Corría el siglo XVII. El era un abogado francés que trabaja como juez de Paz en Toulouse. En sus ratos libres creaba teoremas. Y uno de ellos fue resuelto hace sólo 15 años.

El último teorema de Fermat, más estrictamente la última conjetura de Fermat, fue demostrada por el matemático inglés Andrew Willes hace apenas 15 años en Cambridge, Inglaterra.

Andrew era apenas un niño de 10 años cuando, en una biblioteca pública, descubrió la conjetura de fermat en un manual de matemática. Cómo podía ser que algo tan sencillo de entender no hubiera podido ser demostrado todavía? Era fácil: x a la n + y a la n = z a la n, es falso para cualquier n natural mayor que 2 (con x, y, z reales).

Pierre de Fermat se encontraba estudiando sus libros de aritmética de Diofanto de Alejandría, y en la sección de Teoría de números se detuvo especialmente en la demostración del Teorema de Pitágoras. Al margen de la misma escribió su conjetura. Y abajo de ella: "He hallado una hermosa demostración pero este margen es muy pequeño para contenerla". La frase suena a desafío.

Su conjetura no es más que la generalización a todos los naturales del Teorema de Pitágoras. Podría leerse así: la suma de la enésima potencia de los catétos es igual a la enésima potencia de la hipotenusa.

Clarísimo.

Pero, cómo podía ser que ninguno de los grandes matemáticos de la historia hayan podido encontrar una demostración? Gauss no pudo, Euler no pudo, Lagrange no pudo, Kümmel tampoco.

Willes asumió este hecho como un reto personal. Y se encerró en su altillo durante 8 (ocho) años. Su vida consistía en el dictado de clases en Cambridge y en la reclusión en el altillo en absoluto secreto para no dar pistas a la comunidad matemática y sufrir un plagio de algún colega.

Pero todo lo sencillo que tiene el enunciado de la conjetura no tiene relación alguna con su demostración.

Sin embargo hay que decirlo, contaba con una ventaja: en el camino sus renombrados colegas le fueron tendiendo algunas ayudas "demostrando" la veracidad del teorema para valores particulares de n. Por ejemplo: se sabía que era verdadero para n=3, n=4 y así hasta 8. Pero qué pasaba con n= 9? y con n= 38? Había que demostrar la verdad o falsedad de la conjetura para "cualquier" valor de n.

Y en eso andaba Willes, tal vez fascinado también por el lado romántico de la conjetura: el matemático alemán Ernst Kümmel tenía pensado acabar con su vida a causa de un serio problema con su pareja. Había calculado con exactitud el día y la hora del hecho, la parábola que haría la bala del arcabuz al entrar a su cuerpo, la integral indefinida de la velocidad de la misma y el lugar exacto en el que caería desvanecido. La noche anterior se preparó, preparó el arcabuz y mientrás se disponía a esperar la hora señalada se sentó a leer un libro de matemática. Y se concentró en la conjetura de Fermat. Mucho. Tanto que llegó a "demostrarla" para n=4, se le pasó la hora señalada y como no se había suicidado, consagró el resto de su vida a la conjetura estableciendo al momento de su muerte natural una condecoración equivalente a U$s 1.000.000 actuales para quien hallara la demostración general. La Fundación Kümmel se encargaría de hacer la entrega del premio en el futuro.

Willes solicitó 3 sesiones en el Congreso Anual de Matemática que se realizó en la Universidad de Cambridge, en 1993. No dió el título de las mismas. Sólo dijo que se tratarían de Teoría de números.

"QED" dijo sonriente mirando cómo los asistentes observaban incrédulos la ya ex-conjetura en el pizarrón.

Y se fue corriendo. La Fundación Kümmel atendía hasta las 6 de la tarde.

El efecto mariposa

2008-09-01T16:31:00.007-03:00

Era 1961. Estaba en Boston. Era matemático especialista en predictibilidad climática. Creo un software con ese fin. Cuando quizo probarlo empezó la historia más atrapante de la matemática moderna....

Edward Lorenz corrió el software para verificar su funcionamiento introduciendo las variables climáticas del día anterior con la esperanza de que nada malo ocurriera y el programa entonces predijera el clima que efectivamente hacía aquel día (la mejor forma de probarlo, no?).

Pero eso no ocurrió, porque el resultado arrojado fue un clima totalmente distinto al esperado.

"Esta máquina debe andar mal", pensó Edward. y se dispuso a verificar esta hipótesis mientrás escuchaba el K. 299 de Mozart.

"No che, anda bien este aparato", pensó de nuevo Edward. "Entonces me equivoqué en las ecuaciones del modelo". Mozart de nuevo.

"No entiendo che, las ecuaciones estan bien!". "No me digas que...."

Sí te digo..., Edward omitió adrede ingresar los quintos y sextos decimales de una de las variables que formaban parte de su modelo matemático predictor y esa era la causa de la desviación del resultado del programa. Pero el programa andaba bien. Asi que estaba ante un caso en que una muy pequeña variación en las "condiciones iniciales del sistema" causaba un resultado del sistema bastante diferente del esperado en condiciones ideales.

A éste caso particular de sistemas Edward lo llamó "sistemas caóticos". Y tal adjetivo se debe a que éstos sistemas son estéticamente azarosos, impredecibles y desordenados, pero en su escencia son determinístas, predecibles y ordenados. Estan regidos por ecuaciones que regulan su comportamiento como sistema y la causa de ese comportamiento "irregular" es la excesiva sensibilidad a las condiciones iniciales. Una pequeña diferencia entre dos estados aislados del sistema generará grandes diferencias en sus resultados finales.

Con la evidencia de que el clima es un sistema caótico por excelencia, y mientras Mozart tocaba ya su tercer movimiento, Edward entonces postuló: "el aleteo de una mariposa en Brasilia puede provocar un huracán en Texas".

Y, paradógicamente, su gráfico del comportamiento del sistema tiene forma de alas de mariposa.

Estos muchachos..!

2008-08-29T10:05:00.000-03:00

La matemática estaba tranquila con sus teoremas y sus axiomas, reposando en la teoría de conjuntos y abrigada por la suave cobija de la completitud. Pero un día llegó el doctor, manejando un cuatrimotor...y saben lo que pasó? El doctor, o mejor dicho los doctores, la hicieron tambalear y le causaron a la pobre uno de los dolores de cabeza más grandes de su historia.

El primer doctor se llamaba Bertrand Russell y con sus famosas paradojas puso en jaque a la teoría de conjuntos al punto tal de generar una incredulidad bastante importante respecto de los fundamentos mismos de la ciencia matemática. Si la matemática se cimentaba en la teoría de conjuntos y ahora la teoría de conjuntos parecía tener una grieta, peligraban todos los conceptos y las construcciones matemáticas conocidas hasta entonces.

Sus paradojas se basaban en la idea de pertenencia de conjuntos: considerando un conjunto equis cualquiera cuyos elementos son todos aquellos conjuntos que tienen la propiedad de no pertenecer a sí mismos. El conjunto equis pertenece a sí mismo? Si pertenece a sí mismo hay una contradicción, porque sus elementos son los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Pero si no pertenece a sí mismo también, porque debe pertenecer a sí mismo. De esta manera la matemática tuvo que tomarse uan tableta entera de aspirinas y esperar a que la comunidad de matemáticos arribara a la convención de que todo conjunto pertenece a sí mismo.

El segundo doctor en cuestión se llamaba Kurt Gödel y con su famoso teorema de incompletitud arruinó las expectativas de muchos matemáticos. Hasta entonces en la matemática reinaba la idea de la completitud, según la cual no existía teormea indemostrable. Todo teorema tenía su correspondiente demostración, fácil o no, pero la tenía. Pero un día nublado y frío el buen Gödel postuló: tal completitud no existe. Si no se encuentra la demostración de un teorema puede ser por dos causas: o porque es muy dificil de encontrar o porque no existe. Eh!! Como que no existe? Si la matemática es completa!! No, dijo Kurt. La matemática no es completa, sino incompleta. Y existen teoremas que nunca van a poder ser demostrados.

Otra tableta de aspirinas.

Entonces la matemática le preguntó: y decime Kurt, puedo saber cuál teorema tiene demostración y cuál no? No sé, le dijo Kurt. Eso averigualo vos.

Al borde de la desesperación, la matemática se encontró con Alain Turing, quien muy pacientemente le dijo: he demostrado que no es posible demostrar a priori si una proposición es o no demostrable.

En medio de tanta confusión, la matemática se tomó un té con miel y se fue a dormir esperando que las aspirinas le calmen la jaqueca.

Es tridimensional el universo? II

2008-08-29T09:20:00.000-03:00

Esta reflexión está en línea con la teoría de Albertito Einstein. Para él el universo era determinístico, y por eso no creía que Dios pudiera jugar a los dados con él, y en particular creía en la teoría de las "variables ocultas", según la cual el universo es como una mesa de vidrio sobre la que estamos nosotros jugando a las cartas. No sabemos cuál será la próxima carta que levantemos de la mesa....pero porque la vemos desde arriba. Basta con echar una mirada por debajo para que se esclarezca nuestro panorama y se diluya nuestra incertidumbre.
Hasta acá Einstein. Desde acá sigo yo: esa mirada por debajo de la mesa de vidrio no es nada más ni nada menos que el agregado de una dimensión que nos permite explicar algo hasta ese momento inexplicable y atribuíble al "azar".
En esta línea, pregunto: existe realmente el azar? A medida que agreguemos dimensiones tenderá éste a decrecer? Si ésto es así no hay dudas que el azar es una invención del hombre para justificar y dar nombre a lo que su inteligencia no puede explicar. Igual que la religión.

Es tridimensional el universo?

2008-08-28T15:53:00.000-03:00

Es realmente tridimensional el universo?

O será que por la fisiología de nuestra visión nosotros lo "hacemos" tridimensional amputándole las demás dimensiones?

Si ésto es así, creo que estamos autorizados a pensar que el universo es, al menos, tetradimensional y que la mayoría de las cuestiones actualmente inexplicables lo son justamente porque sus causas son, al menos, tetradimensionales.

2008-08-28T15:12:00.000-03:00

- Thales de Mileto.
- De tu qué?

Bienvenidos

2008-08-28T15:03:00.000-03:00

Bienvenidos a este espacio para la Matemática, la Teoría del caos y la Geometría del espacio...