La matemática estaba tranquila con sus teoremas y sus axiomas, reposando en la teoría de conjuntos y abrigada por la suave cobija de la completitud. Pero un día llegó el doctor, manejando un cuatrimotor...y saben lo que pasó? El doctor, o mejor dicho los doctores, la hicieron tambalear y le causaron a la pobre uno de los dolores de cabeza más grandes de su historia.
El primer doctor se llamaba Bertrand Russell y con sus famosas paradojas puso en jaque a la teoría de conjuntos al punto tal de generar una incredulidad bastante importante respecto de los fundamentos mismos de la ciencia matemática. Si la matemática se cimentaba en la teoría de conjuntos y ahora la teoría de conjuntos parecía tener una grieta, peligraban todos los conceptos y las construcciones matemáticas conocidas hasta entonces.
Sus paradojas se basaban en la idea de pertenencia de conjuntos: considerando un conjunto equis cualquiera cuyos elementos son todos aquellos conjuntos que tienen la propiedad de no pertenecer a sí mismos. El conjunto equis pertenece a sí mismo? Si pertenece a sí mismo hay una contradicción, porque sus elementos son los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Pero si no pertenece a sí mismo también, porque debe pertenecer a sí mismo. De esta manera la matemática tuvo que tomarse uan tableta entera de aspirinas y esperar a que la comunidad de matemáticos arribara a la convención de que todo conjunto pertenece a sí mismo.
El segundo doctor en cuestión se llamaba Kurt Gödel y con su famoso teorema de incompletitud arruinó las expectativas de muchos matemáticos. Hasta entonces en la matemática reinaba la idea de la completitud, según la cual no existía teormea indemostrable. Todo teorema tenía su correspondiente demostración, fácil o no, pero la tenía. Pero un día nublado y frío el buen Gödel postuló: tal completitud no existe. Si no se encuentra la demostración de un teorema puede ser por dos causas: o porque es muy dificil de encontrar o porque no existe. Eh!! Como que no existe? Si la matemática es completa!! No, dijo Kurt. La matemática no es completa, sino incompleta. Y existen teoremas que nunca van a poder ser demostrados.
Otra tableta de aspirinas.
Entonces la matemática le preguntó: y decime Kurt, puedo saber cuál teorema tiene demostración y cuál no? No sé, le dijo Kurt. Eso averigualo vos.
Al borde de la desesperación, la matemática se encontró con Alain Turing, quien muy pacientemente le dijo: he demostrado que no es posible demostrar a priori si una proposición es o no demostrable.
En medio de tanta confusión, la matemática se tomó un té con miel y se fue a dormir esperando que las aspirinas le calmen la jaqueca.
