Sobre la Regla de Barrow

“¿Cómo hago?” se preguntaban los matemáticos anteriores al siglo XVII cuando se enfrentaban a la odisíaca tarea de hallar el área comprendida entre una curva cualquiera (con la cualidad de ser integrable, obviamente) y el eje de absisas de un sistema cartesiano.
Probaban y probaban, algunos con mucho ingenio. Pero todas las estrategias de ataque al problema terminaban arrojando errores de cálculo, tanto por defecto como por exceso.
Pero un día llegó el doctor, manejando un cuatrimotor, ¿y saben lo que pasó? Junto al doctor venía el reverendo Isaac Barrow, quien en su facebook declaraba: nacido en Londres en 1630, de profesión teólogo y matemático, y viviendo una situación sentimental con alguien (sin aclarar el sexo de alguien).
Maestro de su tocayo Isaac Newton, Don Barrow se había interesado por el cálculo y la geometría. Entre sus numerosos aportes al cálculo (se lo considera uno de los padres del cálculo moderno) se encuentran el Primer y Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral; este último conocido, con justicia, como Regla de Barrow.
El Primer Teorema Fundamental aliviaría sobremanera la ingesta diaria de cafiaspirinas de los matemáticos buscadores de áreas. ¿Porqué? se preguntarán. Por que el Teorema en cuestión establece una relación bidireccional, crucial en matemáticas, que dice así: la diferenciación y la integración de una función son operaciones inversas una de la otra. Vale decir que, si se desea conocer la integral de una función “f” escalar (trabajando en R1 es más fácil el concepto), basta con hallar una función “F” (que también será escalar), tal que su derivada sea igual a “f”.
“¿Y para qué me sirve eso a mí, fiera?” Se preguntaban los impacientes matemáticos.
Les servía porque Don Isaac, unos meses más tarde, sentenció el Segundo Teorema Fundamental: el área bajo la curva que genera la imagen de una función escalar integrable, comprendida entre los valores “a” y “b” (con “a” menor que “b” y ambos reales), es igual a la integral de f evaluada en “b”, menos la integral de f evaluada en “a”; y esto gracias al Primer Teorema Fundamental se traduce de la siguiente manera: la primitiva de f evaluada en “b”, menos la primitiva de f evaluada en “a”.
Cuenta la leyenda que tiempo más tarde, a raíz estos descubrimientos, Don Isaac se hizo tan famoso que participó en Bailando por un sueño e hizo una temporada de verano en Villa Carlos Paz. Demasiado para un espíritu ermitaño.
En el siglo XIX, el alemán Bernardito Riemann generalizó todos estos conceptos para funciones en espacios vectoriales Rn, de dimensión “n” mayor o igual a 3, permitiendo con ello, en el caso de n = 3, calcular el área comprendida entre un sólido, un par de vectores en R3 (como límites de integración) y un octante, en un sistema tridimensional.
Esta generalización de Riemann es conocida como integral múltiple o Suma de Riemann (en alusión a la estrategia con la que trabajó Bernardo).

Y posteriormente se generalizó aún más el concepto para el caso de áreas comprendidas entre n sólidos o entre n sólidos y algún(os) octantes, con límite de integración dependiente de alguna(s) variable(s).

Sobre la Regla de Bernoulli

“Yo le daré con placer a usted una pensión de 300 libras,
la cual comienza desde el 01 de Enero del presente año. Y le
mandaré 200 libras para la primera parte del año, por las revistas
que Ud. ha mandado. Y le daré otras 150 libras por la
otra parte del año y así en el futuro. Le prometo incrementar
estas pensiones pronto, pues reconozco que son moderadas, y
lo haré tan pronto como mis negocios sean menos confusos.
Yo no soy tan irrazonable como para pretender de usted todo
su tiempo, pero sí pretendo que de él me de ocasionalmente
algunas horas para trabajar en lo que le pregunte, y también,
para que me comunique sus descubrimientos, con la condición
de no nombrarlos a otros. También le digo que no envíe
ni a Varignon ni a otros copias de estas notas, pues no me
agradará. Envíeme su respuesta a todo esto y créame:

Monsieur tout a vous

LE M. DE L'HOSPITAL"


Con estas palabras (fechadas el 17 de Marzo de 1694) Guillermo de L´Hospital compró los trabajos y el silencio de Juan Bernoulli.
Guillermo Francisco Antonio de L´Hospital: Marqués de Saint Mesme, Conde de Autremont y Señor de Ouques, nació en París en 1661 y falleció en la misma ciudad, en 1704. Fue un matemático aficionado que publicó diversos trabajos sobre Cálculo, pero sus aspiraciones lo llevaron a la deshonra.
Juan Bernoulli nació en Basilea en 1667 y falleció en París en 1747. Décimo hijo de un farmacéutico acaudalado, desistió del influjo paterno para dedicarse a la administración de la empresa y se dedicó a la matemática realizando numerosos trabajos, muchos de los cuales han sido de vital importancia para el progreso de esta ciencia. Joven, recien casado y agobiado por su situación económica se vió obligado a aceptar la indecorosa propuesta de L´Hospital.
En 1696 se publicó la obra de este último: “Análisis de puntos infinitesimales para la comprensión de líneas curvas”. La misma estaba dividida en diez secciones. En la novena de ellas aparece la regla la falsamente conocida como Regla de L´Hospital:

“Para hallar el valor de una expresión racional en x que para un valor de abcisa dada, x toma la forma 0/0, se determina el cociente de las diferencias del numerador y del denominador para este valor de la abcisa” (luego este resultado se generalizó para los casos de ∞/∞).

En 1704, ante la muerte de L´Hospital y considerandose entonces libre para hacerlo, Bernoulli realizó una serie de declaraciones públicas de sus resultados, en particular de la regla en cuestión haciendo masiva la verdadera identidad de su creador: él mismo. Pero pocos le creyeron y este importante teorema continuó atribuyendose injustamente al marqués.
El tiempo fue el peor enemigo de Bernoulli porque fue recién en el año 1922 cuando la verdad salió a la luz, al aparecer un manuscrito suyo sobre Cálculo Diferencial fechado en 1691 en el que figura la regla. El de L´Hospital data de 1696, 5 años más tarde.
Hoy en día se la sigue llamando regla de L´Hospital.
Cuanta injusticia.

De planos, campos y otras yerbas...

Acá una historia de las miserias y verdades en la ciudad de la furia...

En el edificio donde viven las funciones ordinarias (también conocidas como funciones reales de variable real o, simplemente, funciones escalares) las pibas del 4° F tienen una propiedad que sus vecinas envidian sobremanera. Y es que son derivables.
Las solteronas y monótonas del 8° A les tienen tanto rencor que cuando se las cruzan en el pallier, susurran socarronamente: "ja, por lo menos a mí no me aproxima ninguna recta chiruza".
Y es que "las pibas", al ser derivables, tienen la cualidad de que existen infinitas líneas rectas que pasan por cada uno de sus puntos. En particular, algunas de ellas las tocan en el punto. Es decir, les son tangentes en ese punto.
¿Y que cualidad tienen esas rectas tangentes? Que su pendiente esta dada por la derivada de la función y, además, que representan la mejor aproximación a la función en un entorno de ese punto. Es decir, muy cerca de ese punto la función y la recta tienen el mismo valor. “Chupate esa” diría Jorge Corona.
Esta propiedad se llama diferenciabilidad de la función y asegura que la función que es diferenciable es pausible de ser aproximada por una línea recta que le es tangente y cuya pendiente esta dada por la derivada de la función. Y esto es muy fuerte como para no despertar la envidia de las monótonas del octavo.
Formalmente:
(Condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad)
Sea F una función escalar: R en R
Hip - F es derivable en un entorno (a,b) de su dominio
T - F es diferenciable en (a,b)
Y viceversa. Es una bicondicional.

En el edificio de al lado la cosa es aún más elitista porque viven las funciones reales de variable vectorial o, simplemente, campos escalares. Y los señoritos siempre bien vestidos y perfumados del 2° B son motivo de constante chusmerío, hasta incluso de los campos escalares derivables. ¿Porque? Por que estos muchachos son diferenciables y, por lo tanto, aproximables. Pero esta vez no por una recta sino por un plano, llamado plano tangente, atento a que los campos escalares estan deifinidos, como mínimo, en tercera dimensión.
Más general. Si un campo escalar es derivable no necesariamente ha de ser diferenciable. En el caso que sí lo sea, seguro su mejor aproximación en un punto es un plano tangente al campo, en ese punto. De otro modo, de todos los planos que pasan por ese punto, el que más se asemeja al valor del campo en un entorno del punto, es el que resulta ser tangente en ese punto.
¿Qué condición debe cumplir un campo escalar para ser diferenciable? Que sus derivadas parciales sean contínuas.
Y llendo un poco más lejos. El gradiente del campo evaluado en un punto es ortogonal al plano tangente en ese punto.
Y un poco más. El gradiente en un punto es ortogonal, también, al plano tangente en el punto a la superficie de nivel c del campo.
Formalmente:
(Condición suficiente de diferenciabilidad)
Sea F un campo escalar: Rn en R
Hip - F admite derivadas parciales contínuas en un entorno (a,b,….,n) de su dominio
T - F es diferenciable en (a,b,….,n)

Muchas cualidades como para no ser envidiadas, digamos la verdad.

Oia...una recta horizontal

Teniendo presente que el hombre era abogado, no podemos más que sacarnos el sombrero cuando nos enteramos que fue él quien creó el concepto de "derivada".
Nada más viendo el gráfico de una función periódica Pierre de Fermat notó que en los máximos y mínimos de esa función se podían trazar líneas tangentes a la curva cuya cualidad consistía en ser horizontales.
Y así nomás, como quien no quiere la cosa, el hombre se mandó un estudio sobre la diferenciación de las funciones y creó el concepto de derivada.
Y este fue sólo uno de los tantos aportes de este abogado a la matemática...
Chapeau Fermat...