Sobre la Regla de Barrow

“¿Cómo hago?” se preguntaban los matemáticos anteriores al siglo XVII cuando se enfrentaban a la odisíaca tarea de hallar el área comprendida entre una curva cualquiera (con la cualidad de ser integrable, obviamente) y el eje de absisas de un sistema cartesiano.
Probaban y probaban, algunos con mucho ingenio. Pero todas las estrategias de ataque al problema terminaban arrojando errores de cálculo, tanto por defecto como por exceso.
Pero un día llegó el doctor, manejando un cuatrimotor, ¿y saben lo que pasó? Junto al doctor venía el reverendo Isaac Barrow, quien en su facebook declaraba: nacido en Londres en 1630, de profesión teólogo y matemático, y viviendo una situación sentimental con alguien (sin aclarar el sexo de alguien).
Maestro de su tocayo Isaac Newton, Don Barrow se había interesado por el cálculo y la geometría. Entre sus numerosos aportes al cálculo (se lo considera uno de los padres del cálculo moderno) se encuentran el Primer y Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral; este último conocido, con justicia, como Regla de Barrow.
El Primer Teorema Fundamental aliviaría sobremanera la ingesta diaria de cafiaspirinas de los matemáticos buscadores de áreas. ¿Porqué? se preguntarán. Por que el Teorema en cuestión establece una relación bidireccional, crucial en matemáticas, que dice así: la diferenciación y la integración de una función son operaciones inversas una de la otra. Vale decir que, si se desea conocer la integral de una función “f” escalar (trabajando en R1 es más fácil el concepto), basta con hallar una función “F” (que también será escalar), tal que su derivada sea igual a “f”.
“¿Y para qué me sirve eso a mí, fiera?” Se preguntaban los impacientes matemáticos.
Les servía porque Don Isaac, unos meses más tarde, sentenció el Segundo Teorema Fundamental: el área bajo la curva que genera la imagen de una función escalar integrable, comprendida entre los valores “a” y “b” (con “a” menor que “b” y ambos reales), es igual a la integral de f evaluada en “b”, menos la integral de f evaluada en “a”; y esto gracias al Primer Teorema Fundamental se traduce de la siguiente manera: la primitiva de f evaluada en “b”, menos la primitiva de f evaluada en “a”.
Cuenta la leyenda que tiempo más tarde, a raíz estos descubrimientos, Don Isaac se hizo tan famoso que participó en Bailando por un sueño e hizo una temporada de verano en Villa Carlos Paz. Demasiado para un espíritu ermitaño.
En el siglo XIX, el alemán Bernardito Riemann generalizó todos estos conceptos para funciones en espacios vectoriales Rn, de dimensión “n” mayor o igual a 3, permitiendo con ello, en el caso de n = 3, calcular el área comprendida entre un sólido, un par de vectores en R3 (como límites de integración) y un octante, en un sistema tridimensional.
Esta generalización de Riemann es conocida como integral múltiple o Suma de Riemann (en alusión a la estrategia con la que trabajó Bernardo).

Y posteriormente se generalizó aún más el concepto para el caso de áreas comprendidas entre n sólidos o entre n sólidos y algún(os) octantes, con límite de integración dependiente de alguna(s) variable(s).